वर्तुळ – घनफळ – बहुभुजाकृती व इतर महत्वाचे भौमितिक सूत्रे

वर्तुळावर आधारीत काही सुत्रे

 

MPSC MATHS MPSC KIDA

 

• त्रिज्या(R)- वर्तुळाच्या केंद्रबिंदूतून निघून परिघाला जाऊन मिळणार्‍या रेषाखंडाला वर्तुळाची त्रिज्या म्हणतात.
• वर्तुळाच्या व्यास (D) – केंद्रबिंदूतून निघून जाणार्‍या व वर्तुळाच्या परिघावरील दोन बिंदुना जोडणार्याह रेषाखंडास वर्तुळाचा व्यास म्हणतात.
• वर्तुळाचा व्यास हा त्या वर्तुळाचा त्रिज्येचा (R च्या) दुप्पट असतो.
• जीवा – वर्तुळाच्या परिघावरील कोणत्याही दोन बिंदूंना जोडणार्‍या रेषाखंडाला वर्तुळाची जीवा म्हणतात.
• व्यास म्हणजे वर्तुळाची सर्वात मोठी जीवा होय.
• वर्तुळाचा व्यास हा त्रिजेच्या दुप्पट व परीघाच्या 7/12 पट असतो.
• वर्तुळाचा परीघ हा त्रिजेच्या 44/7 पट व व्यासाच्या 22/7पट असतो.
• वर्तुळाचा परीघ व व्यासातील फरक = 22/7 D-D = 15/7 D
• अर्धवर्तुळाची परिमिती = 11/7 D+D (D=व्यास) किंवा D =वर्तुळाचा व्यास, त्रिज्या (r) × 36/7
• अर्धवर्तुळाची त्रिज्या = परिमिती × 7/36
• वर्तुळाचे क्षेत्रफळ = π × (त्रिज्या)2 = πr2 (π=22/7 अथवा3.14)
• वर्तुळाची त्रिज्या = √क्षेत्रफळ×7/22  
• वर्तुळाची त्रिज्या = (परीघ-व्यास) × 7/30
• अर्धवर्तुळाचे क्षेत्रफळ = π×r2/2 किंवा 11/7 × r2
• अर्धवर्तुळाची त्रिज्या = √(अर्धवर्तुळाचे ×7/11) किंवा परिमिती × 7/36
• दोन वर्तुळांच्या त्रिज्यांचे गुणोत्तर = त्या वर्तुळांच्या परिघांचे गुणोत्तर.
• दोन वर्तुळांच्या क्षेत्रफळांचे गुणोत्तर हे त्या वर्तुळांच्या त्रिज्यांच्या गुणोत्तराच्या किंवा त्या वर्तुळांच्या परिघांच्या गुणोत्तराच्या वर्गाच्या पटीत असते. वर्तुळाची त्रिज्या दुप्पट केल्यास क्षेत्रफळ चौपट येते.

घनफळावर आधारीत काही सूत्रे

• इष्टीकचितीचे घनफळ = लांबी × रुंदी × उंची = (l×b×h)
• काटकोनी चितीचे घनफळ = पायाचे क्षेत्रफळ × उंची
• गोलाचे घनफळ = 4/3 π×r3 (r=त्रिज्या)
• गोलाचे पृष्ठफळ = 4π×r2    
• घनचितीचे घनफळ = (बाजू)3= (l)3
• घनचितीची बाजू = ∛घनफळ
• घनाची बाजू दुप्पट केल्यास घनफळ 8 पट, बाजू चौपट केल्यास घनफळ पटीत वाढत जाते, म्हणजेच 64 पट होते आणि ते बाजूच्या पटीत कमी अथवा वाढत जाते.
• घनाचे पृष्ठफळ = 6 (बाजू)2
• वृत्तचितीचे (दंडगोलाचे) घनफळ = π×r2×h
• वृत्तचितीची उंची (h) = (घनफळ/22)/7×r2 =घनफळ×7/22×r2
• वृत्तचितीचे त्रिज्या (r) = (√घनफळ/22)/7×r2 = √घनफळ×(7/22)/h

इतर भौमितिक सूत्रे

• समांतर भूज चौकोनाचे क्षेत्रफळ = पाया×उंची 
• समभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ = 1/2×कर्णाचा गुणाकार 
• सुसम षटकोनाचे क्षेत्रफळ = (3√3)/2×(बाजू)2
• वर्तुळ पाकळीचे क्षेत्रफळ = वर्तुळ कंसाची लांबी × r/2 किंवाθ/360×πr2
• वर्तुळ कंसाची लांबी (I) = θ/180×πr
• घनाकृतीच्या सर्व पृष्ठांचे क्षेत्रफळ = 6×(बाजू)2
• दंडगोलाच्या वक्रपृष्ठाचे क्षेत्रफळ = 2×πrh 
• अर्धगोलाच्या वर्कपृष्ठाचे क्षेत्रफळ = 3πr2
• अर्धगोलाचे घनफळ = 2/3πr3
• त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ = √(s(s-a)(s-b)(s-c) )
• शंकूचे घनफळ = 1/3 πr3h  
• समभुज त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ = √3/4×(बाजू)2
• दंडगोलाचे एकूण पृष्ठफळ = 2πr(r+h)
• अर्धगोलाचे एकूण पृष्ठफळ = 2πr2
• (S = 1/2 (a+b+c) = अर्ध परिमिती) 
• वक्रपृष्ठ = πrl
• शंकूचे एकूण पृष्ठफळ = πr2 + π r (r+l) r= त्रिज्या, l= वर्तुळ कंसाची लांबी

बहुभुजाकृती यावर आधारीत काही सुत्रे

• n बाजू असलेल्या बहुभुजाकृतीच्या सर्व आंतरकोनांच्या मापांची बेरीज (2n-4) काटकोन असते, म्हणजेच 180(n-2)0 किंवा [90×(2n-4)]0 असते.
• सुसम बहुभुजाकृतीचे सर्व कोन एकरूप असतात व सर्व बाजू एकरूप असतात.
• बहुभुजाकृतीच्या बाह्य कोनांच्या मापांची 3600 म्हणजेच 4काटकोन असते. 
• n बाजू असलेल्या सुसम बहुभुजाकृतीच्या प्रत्येक बहयकोनाचे माप हे 3600/n असते. 
• सुसम बहुभुजाकृतीच्या बाजूंची संख्या = 3600/बाहयकोनाचे माप 
• बहुभुजाकृतीच्या कर्णाची एकूण संख्या = n(n-3)/2 
• उदा. सुसम षटकोनाचे एकूण कर्ण = 6(6-3)/2 = 6×3/2 = 9